山徑文學社作品（夕陽淺唱）
作者的話：作為曾經(jīng)的數(shù)學老師，最近我在今日頭條上看到有關(guān)“3n＋1猜想”的文章，心血來潮，也對猜想進行了一些探索。由于自己孤陋寡聞，不知道是否與別人的思路雷同。但不管怎樣，這也是自己的勞動成果，姑且先記錄下來，就教于方家。
因何感覺“猜想”奇妙？一是簡單，小學生都能理解；二是復雜，提出了至今70多年人們還無法解決的問題。因此，我想讓猜想更大范圍地傳播，期待年輕的數(shù)學愛好者有興趣去研究。若能解決，將使我感到無限的榮幸。
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對“3n+1猜想”的思考
向本清
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3n+1猜想為：任意給定正整數(shù)N，當N為偶數(shù)時，將它若干次除以2，變?yōu)橐粋€奇數(shù)，當N為奇數(shù)時，將它乘以3，再加上1，變?yōu)橐粋€偶數(shù)，經(jīng)過有限次這樣的操作之后，使它變?yōu)?/span>1。
3n+1猜想又稱為考拉茲猜想，角谷猜想，哈塞猜想，烏拉姆猜想，敘拉古猜想或冰雹猜想。
3n+1猜想從上個世紀五十年代提出來之后，很多的數(shù)學家和數(shù)學愛好者都進行了研究，但到目前為止，既沒有被證明，也沒有得出反例。人們用計算機對小于
的整數(shù)都驗證了沒有問題。當代最偉大的數(shù)學家陶哲軒認為，這是人類目前還不可能證明的問題。
筆者自不量力，也對3n+1猜想用初等方法進行了一些探討，得到了如下的一些結(jié)論：
結(jié)論1：3n+1猜想只要對形如4k+3的正整數(shù)成立，則猜想成立。
這是因為人民己經(jīng)用計算機對小于的整數(shù)都驗證了。假設猜想不成立，則至少存在一個正整數(shù)，使猜想不成立，設其最小的為M，顯然，M不可能為偶數(shù)，否則，令M=，則m〈M，M使猜想不成立，故m也使猜想不成立，這與M是使猜想不成立的最小數(shù)矛盾。
若M=4k+1,則3, 除以 4得3k+1<M.同樣與M是使猜想不成立的最小數(shù)矛盾。故M只可能是4k+3形式的數(shù)。
再應用數(shù)學歸納法知識，由于有驗證的基礎，我們可以假設猜想對一切小于或等于4k正整數(shù)都成立，當n=4k+1時，3（4k+1)+1=12k+4, 除以 4得3k+1<4k,知猜想成立。當n=4k+2時， 除以 2得2k+1<4k,知猜想成立。當n=4k+4， 除以 4得k+1<4k,知猜想成立。故如果能證明n=4k+3時，猜想也成立，根據(jù)歸納法原理，知猜想對一切自然數(shù)都成立。
結(jié)論2：設M是使3n+1猜想不成立的形如4k+3的最小正整數(shù)，則
證明：設K=4m時是使3n+1猜想不成立的形如4k+3的整數(shù)，3（4k+3)+1=12k+10,除以2得6k+5,3(6k+5)+1=18k+16=72m+16,除以8得9m+2<4k+3=M,M使猜想不成立，故9m+2也使猜想不成立，這與M是使猜想不成立的最小數(shù)矛盾。
設K=3m+1時是使3n+1猜想不成立的形如4k+3的整數(shù),則4k+3=3(k+1)+K=3(k+m+1)+1,故k+m+1也使猜想不成立，而k+m+1<M=4k+3,這與M是使猜想不成立的最小數(shù)矛盾。
設，
則除以2得+,再乘以3加1得。若，除以4則有+，乘以3加1得+
若 除以4得+
此時有k=8m+2.類似地，若或即分別有k=8m+5；32m+14.可得4k+3經(jīng)過變換后小于4k+3.
我們把奇數(shù)a“經(jīng)過乘3加1后變成一個偶數(shù)，再用2將其連續(xù)整除至一個奇數(shù)”的過程稱為數(shù)a的一次變換。
結(jié)論3：數(shù)a經(jīng)過m次變換后得到的奇數(shù)a(m),有
要證明3n+1猜想,只要證明是正整數(shù)）
即證明： 把上面式子中3的冪和a全部寫成2的冪(即類似于前面4k+3相當于二進制的表示）的形式，從理論上講，對于任意給定的正整數(shù)a,只含有k-2個是零或1的系數(shù)，我們一定可以找到適當?shù)囊唤Mm,b和r的值，使等式成立。從而3n+1猜想得到證明。
如果把每次乘以3加1和除以2都算做一步，那么，共計要進行步操作。
雖然從理論上講可以找，但是具體去找是很難的。比如27，我找了，m=40,r=4,40個b的值，下標分別為2，7，8，10，13，17，21，23，34，35的十個數(shù)的值都是2，下標分別為18，29，37三個數(shù)的值都是3，下標為33，36兩個數(shù)的值都是4，下標為40的數(shù)的值為5，其余24個數(shù)的值都是1。共計要操作111步。
另外，猜想證明的思路可以考慮證明或者在結(jié)論2中 多找一些k的值，使其覆蓋全體正整數(shù)。（2023.9）
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（數(shù)學家陳景潤，心中的偶像）
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本文作者簡介：向本清老師出生于湖南武岡偏僻農(nóng)村，在原轉(zhuǎn)龍完小求學至高中而回鄉(xiāng)修理地球（務農(nóng)）快五年，在工廠當合同工兩個多月，與方程、函數(shù)和微積分為伍四載（湖南師院），在湖南城步苗鄉(xiāng)的三尺講臺上一站34年。
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（山徑文學社肖殿群編輯）
