有趣的雞兔同籠問題
文/蔡同德
暑假到了，家長們都很關(guān)心孩子的家庭作業(yè)完成情況。在小學(xué)四年級的數(shù)學(xué)作業(yè)中繞不開“雞兔同籠”問題。
雞兔同籠問題是一個有趣的古典算術(shù)題。見下圖：
已知條件表面有兩個，一是雞和兔子共有35個頭，二是共有94只腳，實際上是四個已知條件，只不過每只雞2只腳和每只兔子有4只腳是生活常識，沒必要再說。然后讓你求出雞和兔子各有多少只。
(雉是一種像雞的鳥，后來習(xí)慣用雞代替，各幾何的意思就是問各有多少。)
這個問題如果交給初中生做很簡單，用一元一次方程和二元一次方程組來解都行。
如果用一元一次方程來解，則設(shè)雞有 X 只，那么兔子就是(35 - X)只，每只雞有兩只腳，每只兔子有四只腳，因此得方程
2X + 4(35 - X) = 94
化簡：2X + 140 - 4X = 94
2X = 46
解得：X = 23 ，即雞的只數(shù)，
兔子是(35－23)=12(只).
列二元一次方程組的解法從略。
然而，小學(xué)四年級還沒學(xué)習(xí)方程的概念，要求列綜合算式來解，對大多數(shù)學(xué)生就是一個難題了。
解題思路有兩種，都應(yīng)該掌握。第一種是這樣的：假設(shè)每只雞也有 4 只腳，就會得出4 x 35=140只腳，顯然比實際的 94 只腳要多出(140－94 = )46只腳，這完全是假設(shè)雞多了兩只腳造成的，因此
46 ÷ 2 = 23 就是雞的只數(shù)。
列綜合算式可直接求出：
( 4 X 35 - 94 ) ÷ (4－2 )= 23，
然后兔子的只數(shù)是 35 - 23 = 12.
第二種方法是，假設(shè)兔子有兩只腳，那么 2X35=70 就比實際的腳數(shù)少了24只 (94-70=24)，這完全是因為少給每只兔子算了2只造成的，因此 24 ÷ 2 = 12 就是兔子的只數(shù)。綜合算式為
(94－2x35)÷(4－2)
=(94－70)÷2
=24÷2=12(兔子的只數(shù))
于是雞的只數(shù)是35－12=23
雞兔同籠之所以是個典型算術(shù)問題，是因為很多問題都屬于這種題型，都是這種算法。例如，某人到集市上買了土豆和西紅柿共17斤，每斤土豆2元，每斤西紅柿5元，共花52元，問此人買了土豆和西紅柿各多少斤？
解法一：(先把土豆也按每斤5元計算，即每斤多算了3元)
(5x17－52)÷(5－2)
=(85－52)÷3=33÷3=11(斤)
這就是土豆的斤數(shù)。
17－11=6(斤) 就是西紅柿的斤數(shù)。
解法二：(先把西紅柿也按每斤2元計算，即每斤少算3元)
(52 - 2x17)÷(5－2)
=(52－34)÷3=18÷3=6(斤)
17－6 = 11(斤)是土豆的數(shù)量。
現(xiàn)在我們把雞兔同籠問題拓展一下就大大增加理解難度了。
已知雞兔共27只，兔子比雞多18只腿，求雞兔各多少只?
如果你說每只兔子比雞多兩條腿，答案是兔子9只，雞18只，那就大錯而特錯了。因為9只兔子共36條腿，18只雞也是36條腿，同樣多。
這個問題用一元一次方程也很容易解決。設(shè)兔子為x只，那么得方程
4x-2(27－x)=18.
化簡：4x-54+2x=18
6x=72
x=12
那么用綜合算式怎么解呢？
應(yīng)該是 (2x27+18)÷(4+2)=12
怎么理解這個算式呢？
我們不妨把雞兔排成兩排，②④既表示雞兔，也表示腿的條數(shù)：
②②②②②②②②②②②②②②②
④④④④④④④④④④④④
前9對雞兔，兔子就已經(jīng)比雞多了18條腿，還有雞兔共9只，腿數(shù)應(yīng)該相等，因為每只兔子和每只雞的腿數(shù)之比是2：1，那么兔雞的只數(shù)之比就應(yīng)該是1：2，所以應(yīng)該是兔子3只，雞6只。所以兔子總只數(shù)是9+3=12只，雞是27－12=15只。
注意，被除數(shù)(2×27+18=72)不是實際的雞兔腿數(shù)的總和，是假設(shè)數(shù)，這時后面3只兔子還是假設(shè)2條腿，于是在配對時把后面3只雞的腿給兔子，使兔子成了4條腿，這樣就假設(shè)兔子和雞一樣多，每對雞兔的腿是6條，所以要72÷6=12。
實際上雞兔的腿數(shù)總和是12x4+15X2=48+30=78.
正好是48－30=18，符合題意。
如果同樣是27只雞兔，兔子的腿數(shù)比雞腿少18條，求雞兔各多少只，則(2x27－18)÷(4+2)=6 即為兔子的只數(shù)。
②②②②②②②……②②(21只雞)
④④④④④④
后面去掉9只雞18條腿，則雞兔的腿數(shù)應(yīng)該相等，根據(jù)上面所說的比例，剩下來的18只雞兔就應(yīng)該是6只兔子12只雞。因為假設(shè)兔子2條腿，再將6只雞12條腿補給6只兔子，則兔子成了4條腿，和余下的6只雞配對。
檢驗：兔子是6只，所以雞就是21只，21×2－6×4=42－24=18.
這類問題實際生活中很多，舉例：一個班有52名學(xué)生去植樹，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，已知男生比女生共多栽36棵，求男女學(xué)生各多少人？
解：(2x52+36)÷(3+2)
=140÷5
=28
52－28=24
答：男生28人，女生24人。
檢驗：28×3－24×2=84－48=36
如果再加一問，求總棵數(shù)，則是
84+48=132(棵)
希望此文能夠?qū)议L和孩子們有所幫助，若有異議可與作者電話聯(lián)系。
作者簡介：蔡同德，中專數(shù)學(xué)高級講師，從淄博電子工程學(xué)校退休。電話：13953337668
