山徑文學(xué)社作品（夕陽淺唱）
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兩個(gè)新的不等式
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向本清
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我發(fā)現(xiàn)了如下的三角不等式：在中
A ① ②
其中，求和關(guān)于A，B，C輪換，R,r,分別是的外接圓，內(nèi)切圓的半徑，s是的半周長，
不等式?中要求是銳角三角形，當(dāng)且僅當(dāng)是正三角形時(shí)等號(hào)成立。
證明：由三角恒等式A=1+ 〔1〕，故不等式?等價(jià)于不等式
1+ ③
易見，對(duì)于滿足>0的一切正數(shù)s函數(shù)
Y=是s的增函數(shù)，再用J。C。Gerretsen1953年建立的不等式6Rr-5〔2〕,
要證明不等式③，只要證明不等式
≥ ④
而不等式④等價(jià)于36-92r+45-12R+4≥0
等價(jià)于 4(9R-5r)(R-2r)+ ⑤
而由Euler不等式R2r知不等式⑤成立，故不等式①得證。
由三角恒等式
= 〖1〗
知,不等式②等價(jià)于不等式
等價(jià)于 (2R-r)(4R+r) ⑥
當(dāng)2R時(shí)，用C。Ciamberlini在1943年提出的銳角三角形中的不等式s>2R+r〔3〕
要證明不等式⑥，此時(shí)只要證明不等式
(2R-r)(4R+r) ⑦
而不等式 ⑦等價(jià) 4-5r-8R-2
而 4-5r-8R-2=2-5r+-8R+-2
(2R-5r)+8R(-)+-2>0
故此時(shí)不等式②成立。
若2R<5r時(shí)，用J.C.Gerretsen不等式6Rr-5,知要證不等式 ⑥，只要證明不等式
（6Rr-5）(2R-r)(4R+r)，
即 -4+23r-32R+40
即（2r-R)(2-15Rr+4)⑧
又 2-15Rr+4=（2R-5r)(2R-r)-Rr
易見，當(dāng)2R<5r時(shí)，由Euler不等式R立，從而不等式②成立，結(jié)合以上兩
種情況，知不等式②成立。
不等式①，②可以作為楊學(xué)枝老師在《中學(xué)數(shù)學(xué)》（湖北）1994年第2期的《介紹一個(gè)不等式鏈》
中的不等式鏈的一個(gè)推廣。
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參考文獻(xiàn)
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①D.S.Mitrinovic,J.E.Pecaric and V.Volenec,Recent Advances in Geometric,Inequalities Kluwer
Academic Publishers,1989.
②J.C.Gerretsen,Ongelijkheden in de Dnehoek,Nieuw Tijdschr.Wish.41(1953)
③C.Ciamberlini,Sulla Condizione Necessariae Suffinche Un Triangono Siacutangolo,Rettengone
Ottusangolo,Boll.Un.Mat.Ital.5(2) (1943).
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（數(shù)學(xué)家陳景潤）
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本文作者簡介：向本清老師出生于湖南武岡偏僻農(nóng)村，在原轉(zhuǎn)龍完小求學(xué)至高中而回鄉(xiāng)修理地球（務(wù)農(nóng)）快五年，在工廠當(dāng)合同工兩個(gè)多月，與方程、函數(shù)和微積分為伍四載（湖南師院），在湖南城步苗鄉(xiāng)的三尺講臺(tái)上一站34年。
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（山徑文學(xué)社肖殿群編輯）
