冬至數(shù)理演乾坤 九九遐思餃香盈
作者：徐世春
暮色四合時，城鄉(xiāng)在寒霧中漸次亮起燈火。窗玻璃上的冰紋蜿蜒如算術(shù)題里的輔助線，將天地分割成若干幾何區(qū)域。寒夜漫長，算籌列案。古人以圭表測日影，冬至前后影長變化細(xì)微，需連日記錄、反復(fù)推演，為求一刻之準(zhǔn)，常徹夜不眠。據(jù)《周禮》載，早在先秦，古人便通過圭表測影定歷法，后以算籌結(jié)合渾儀等工具，精確測定冬至點?！毒耪滤阈g(shù)》為觀測提供數(shù)學(xué)支撐，彰顯數(shù)理與技術(shù)的深度融合，凝結(jié)著世代智慧。時至冬至，白晝最短而黑夜最長的數(shù)學(xué)極值點，恰似函數(shù)圖像上那個決定曲線走向的臨界值。
一、冬至數(shù)理，天地玄機
冬至陽生數(shù)九寒，
乾坤演算理中觀。
遙思天地?zé)o窮盡，
一餃香盈歲月寬。
冬至的清晨，薄霧如紗，輕籠著沉睡的城鄉(xiāng)。我站在陽臺，指尖輕觸玻璃上的霜花，涼意沁入骨髓，卻喚不醒心底的暖意。走進(jìn)客廳給孩子們講起古人過冬的故事：古人以冬至為起點，用“數(shù)九”之法丈量寒冬，每一日都藏著數(shù)學(xué)的玄機。《周易》中，這陰陽轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)原點，以“復(fù)卦”對應(yīng)此日，喻示陽氣初萌的微觀變化。 從今日始，人們開始在宣紙上繪制九九消寒圖；或畫素梅八十一瓣，每日染紅一瓣；或書寫“亭前垂柳珍重待春風(fēng)”九字，每字九劃，日填一劃。 這種將時間量化為具象符號的智慧，暗合數(shù)學(xué)歸納法的精妙：以八十一日為定義域，以物候變化為函數(shù)值，在緩慢遞增的序列里求證春日的存在性。冬至天地陰陽交替，萬物潛藏待發(fā)。數(shù)九寒天，從冬至開始，每九天為一個“九”，數(shù)到“九九”時，春意便悄然萌動。這不僅是時間的刻度，更是一場與數(shù)學(xué)的隱秘對話：九的倍數(shù)，循環(huán)往復(fù)，如同自然的韻律，在寒冷中孕育著生機。
孩子們問冬至與乘法口訣中的九九八十一是怎么回事，我想了想說到，這個問題需要從乘法口訣的歷史演變、冬至數(shù)九習(xí)俗二者的結(jié)合進(jìn)行說明。首先，乘法口訣的起源與發(fā)展：乘法口訣古稱“九九歌”，其歷史可追溯至春秋戰(zhàn)國時期。最初的口訣共36句，從“九九八十一”起，至“二二如四”止，因起句為“九九”而得名。 在公元5至10世紀(jì)間，口訣擴充至“一一如一”；到13至14世紀(jì)，順序調(diào)整為從“一一得一”到“九九八十一”，與現(xiàn)代版本一致。 現(xiàn)行口訣分為45句的“小九九”與81句的“大九九”兩種體系。其次，冬至與數(shù)九習(xí)俗：冬至是“數(shù)九”的起點，標(biāo)志著寒冬的開始。民間將冬至后的81天劃分為九個“九”，每九天為一階段，并通過“九九歌”描述氣候與物候變化。 第三，乘法口訣在數(shù)九中的體現(xiàn)：數(shù)九過程直接運用了乘法口訣計算天數(shù)。每個“九”結(jié)束時的天數(shù)可通過口訣得出來，一九為1×9=9天，二九為2×9=18天，以此類推至九九的81天。 例如：“五九六九沿河看柳”對應(yīng)冬至后第45至54天，此時氣溫回升，柳樹發(fā)芽。 這種計算方式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識與生活智慧的融合。
九九八十一天，不僅是時間的累積，更是對天地規(guī)律的探尋。我端起水杯，潤了下喉嚨，輕撫書桌上的算盤，指尖滑過冰冷的珠子，仿佛在撥動宇宙的琴弦。數(shù)學(xué)，這無聲的語言，在冬至的靜謐中低語，訴說著乾坤的奧秘。我在思索，在遐想，每一個數(shù)字的背后，是否都藏著生命的密碼？是星辰的軌跡，還是歲月的輪回？此刻，一縷餃香從廚房飄來，溫暖了冬日的寒涼，也融化了心頭的孤寂。我閉上眼睛，仿佛看見天地間無數(shù)數(shù)字在跳躍，交織成一首無聲的詩。
二、數(shù)九寒天，歌謠寄情
數(shù)九寒天餃餌香，?
銀元寶狀寓祺祥。?
垂髫黃發(fā)圍爐樂，
九九耕牛遍地忙。?
北風(fēng)卷過青石巷，檐角冰凌垂落如懸針，數(shù)九寒天的序幕在呵氣成霜中悄然拉開。
古時的孩童們圍坐火爐，稚嫩的歌謠裹著熱氣升騰：“一九二九不出手，三九四九冰上走……”這古老的旋律，原是農(nóng)民丈量寒冬的尺規(guī)，卻在不經(jīng)意間，于生活的褶皺里，藏匿著數(shù)學(xué)的密碼?！耙痪哦疟献?，三九四九隔門望狗，五九六九沿河看柳，七九河開，八九雁來，九九加一九，耕牛遍地走?！薄?一九二九防寒厚，??三九四九暖氣守，??五九六九郊游走，?七九河開霧霾愁，?八九燕來綠意柔，?九九加一九，??農(nóng)機遍地忙春疇。?” 無論歌謠怎樣描寫，都在記錄天氣變化直至春回大地。更像用數(shù)學(xué)編寫的歌曲，在冬日里被孩子們反復(fù)吟唱。在北方，數(shù)九寒天是農(nóng)閑的季節(jié)，“一九二九，懷中插手；三九四九，凍死豬狗；五九六九，沿河看柳；七九河開，八九雁來；九九八十一，莊稼老漢田中立?！边@歌謠不僅是對天氣的描繪，更是對生活的寫照。數(shù)九寒天是考驗人的時候，只有熬過了最冷的日子，才能迎來春天的生機。歌謠里，藏著對生活的堅韌，也藏著對未來的希望。在南方，數(shù)九寒天雖然不如北方那般凜冽，但也有自己的歌謠：“一九二九，相喚不出手；三九二十七，籬頭吹觱篥；四九三十六，夜眠如露宿；五九四十五，家家推鹽虎；六九五十四，口中哂暖氣；七九六十三，行人把衣單；八九七十二，貓狗尋陰地；九九八十一，窮漢受罪畢?！边@首歌謠更像是一幅市井生活的畫卷，描繪著人們在寒冬中的掙扎與無奈。即使在最冷的冬天，人們依然用歌謠傳遞著溫暖。然而，歌謠的地域差異與文化意義也有所不同，無論怎樣，這些歌謠既反映了氣候變化規(guī)律，也凝聚了古代勞動人民對自然現(xiàn)象的觀察，至今仍對農(nóng)業(yè)與日常生活具有參考價值。歌謠是時間的函數(shù)。每一句“九”，都是寒潮的變量，從冬至的初始值起，以九天為周期，單調(diào)遞增著凜冽。當(dāng)“五九六九沿河看柳”時，函數(shù)曲線悄然拐點，春意開始醞釀斜率的變化。歌謠的節(jié)奏，是歲月對線性方程的溫柔注解。
數(shù)九寒天，我漫步在社區(qū)的小徑上，耳畔回蕩著這些古老的九九歌謠。從“一九二九不出手”到“九九加一九，耕牛遍地走”，每一句都承載著農(nóng)民對自然的敬畏與期盼。此刻，我停下腳步，仰望蒼穹，數(shù)九的八十一天像一幅緩緩展開的畫卷，每一筆都刻著歲月的痕跡。我在遐想，這九九八十一天，是否也是人生的縮影？從寒冬到春暖，從沉寂到生機，每一步都需耐心與堅持。就像那九九歌謠，每一句都訴說著對春天的渴望。這時，鄰家的炊煙裊裊升起，冬至餃子的香氣隨風(fēng)飄散，我深吸一口，仿佛嘗到了春天的味道。閉上眼睛，又仿佛看見自己站在春天的田野上，陽光灑在蒼老的臉上生發(fā)出年輕面相，溫暖而明亮。當(dāng)新年的鐘聲敲響，歌謠數(shù)到“九九艷陽天”，函數(shù)終于抵達(dá)最大值。寒潮退去，積雪消融，那些深藏的數(shù)理，如同冰層下的溪流，在歌謠的韻律里，在生活的褶皺中，默默流淌，滋養(yǎng)著冬去春來輪回的美好世界。
三、水餃盈香，親情暖懷
冬至餃香滿院盈，
親情溫暖歲寒輕。
乾坤數(shù)理人間事，
一餃團圓百味生。
兒時的冬至，我走進(jìn)飯房數(shù)著餃子排列的矩陣，十二個褶子，對應(yīng)著十二個月。餡料是隨機的變量，咬開的瞬間，概率論化作滿口鮮香。母親正忙著包餃子，看到面團在母親手中翻飛，她將面團揉成完美圓的柱體，再切成均勻的劑子。每個劑子在搟面杖下又延展成圓。包餡時經(jīng)歷著拓?fù)渥儞Q一一從平面到半球的映射過程中，餡料被完整封裝在閉合曲面內(nèi)。這讓我想起元代醫(yī)書上提及的養(yǎng)生智慧：冬至宜食蓮藕，其孔竅通達(dá)猶如數(shù)學(xué)中的多連通區(qū)域，能調(diào)和人體陰陽平衡。 當(dāng)瑩白的餃子在沸水中浮沉，恰似康托爾集合里的無窮點數(shù)在湯鍋里收斂，更像一顆顆圓潤的珍珠，承載著家的溫暖。
此時，我陷入遐想：這小小的餃子，是否也藏著數(shù)學(xué)的智慧？圓的皮，方的餡，一包一捏，便是乾坤的縮影。一家人圍坐桌旁，餃子的熱氣蒸騰，笑聲在屋內(nèi)回蕩。我咬下一口，湯汁四溢，滿嘴都是幸福的味道。這一刻，我明白了，冬至的餃子，不僅是食物的盛宴，更是親情的紐帶，連接著過去與未來。我望著母親慈祥的面容，忽然覺得，這世間的數(shù)理，遠(yuǎn)不及親情的溫暖來得真切。
而今的我們，也熬到了爺爺奶奶，冬至，奶奶教孫女包餃子，念叨：“二九十八，十八個餃子一屜。”孫女搶答：“九九八十一，五屜半！”奶奶笑：“傻孩子，冬至講究雙數(shù)，咱用‘二八十六’一一十六個一屜，五屜正好八十?！睂O女?dāng)?shù)著餃子，懂了口訣也懂了習(xí)俗。此時我和孫子倆人圍坐在奶奶身邊也包起了餃子。孫子背口訣：“五六三十”，嚷著要包三十個。我搖搖頭：“奶奶說冬至餃子要雙數(shù)，取‘成雙成對’的好意頭?！睂O子改口：“四六二十四！”我笑了：“對嘍，二十四，穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)！”餃子下鍋，孫子懂了：口訣幫算數(shù)，習(xí)俗傳心意。
高興之余，我便回想起往事，那是?冬至的爐火與雪痕?：在我退休前過冬至的年月里。老校長總愛讓老師們擠在學(xué)校辦公室，用炒菜勺一鍋鍋下餃子。水汽氤氳中，老師們輪流搟餃皮、包餃餡，手忙腳亂誤了正事。雖有小食堂，但包餃子的家什要讓學(xué)生們回家去借，家長們的議論像窗外的寒風(fēng)，刺得我心里發(fā)涼。又到了冬至那日，我于妻子商量，咱家離學(xué)校近能不能請老師們到咱家過冬至，妻子爽快地點頭。打那起的連續(xù)三年里，我們買下牛肉豬肉提前養(yǎng)好餡，總請十多名老師來家里過冬至。妻子天未亮便起身，在小小的火爐旁揉面調(diào)餡包餃子，案板上的面團像一朵朵白云。午時放學(xué)的鐘聲一響，老師們便涌進(jìn)院門，其中還要帶上外地就學(xué)的二年級曲云鴿小朋友，他們圍坐在大圓桌上，熱氣騰騰的餃子端上桌，笑聲融化了窗上的霜花。
飯后，還要帶上一份剛出鍋的冬至餃子，給看校的付冠法大爺。我們的這份善良而熱情的心意，是家的溫暖，更是奉獻(xiàn)的種子，它像火爐般溫暖著每個教師的心。冠法大爺逢人就夸我們：積善之家必有余慶，幸福門庭笑口常開。冬至那日，妻子望著一個個成形的餃子，我卻用20的平方數(shù)著餃子的個數(shù)，也計算著褶子的數(shù)量，它是用12x400=4800個一捏一捏的動作織就了這片深情厚誼：48與00的巧妙組合，藏著四季圓滿的祈愿，更裹著她對丈夫教學(xué)一絲不茍，精益求精育梁材的赤誠，每一道褶都訴說著“長長久久”的溫柔期許。這小小的餃子，是她用愛揉進(jìn)面里，把未來包成圓滿的模樣。我從心里感激我的愛妻：親爰的，辛苦了！謝謝您對我的支持！可到了第四年，也就是2014年臘月初十臨近春節(jié)放假，一場大雪覆蓋了大地。清晨，我一路小心翼翼地踏雪來到學(xué)校，先是獨自掃除大門通往各個教室的小道，后陸陸續(xù)續(xù)來了高年級同學(xué)，我組織他們一起清掃積雪。再后來，老師們也都到齊了，終于把雪掃完了。上課玲聲響過，低年級小朋友嬉戲擲雪球的痕跡卻留在冰硬的水泥路上，沒小心的我忽聽得一聲脆響，頓時跌倒在冰滑的水泥路上，重重的身子斜壓在了整個右手腕，造成右手腕粉碎性骨折。劇痛襲來，仿佛連時間都凍僵了。接著，校長讓盧道輝老師開車?yán)业叫±钋f梁氏骨科醫(yī)院就診，當(dāng)時四個大夫拉緊我的手臂讓手腕復(fù)位，嘴咬濕布，劇疼的汗珠濕透了整個身子……，我感謝盧道輝老師及時送我到醫(yī)院診治?？晌抑两衤湎铝擞隼渚屯吹拿。踔劣每甓己芾щy。但我還堅持三年用左手寫字教學(xué)至到退休，個中的辛酸深藏心底。
自那以后，老師們到我家過冬至的爐火再未燃起，品嘗過妻子冬至餃子的老師，成了記憶里最溫暖的雪痕。往昔隨感油然而生：餃香猶在鼻端，溫情常駐心田。
四、遐思無限，歲月靜好
冬至遐思天地寬，
數(shù)理乾坤一夢間。
九九寒天終有盡，
餃香盈處是春山。
夜深了，我獨自坐在書桌前，燈下是曾在三尺講臺寫下的幾本數(shù)學(xué)筆記、數(shù)學(xué)經(jīng)驗和數(shù)學(xué)寶貝。我站在連廊上，望著天空繁星點點，將思緒飄向遠(yuǎn)方。冬至的夜，雖長卻靜，數(shù)九的天雖冷卻暖。腦海深處充滿了遐想，這世間的數(shù)理，是否也如這餃子一般，看似簡單，卻蘊含無限的可能？九九八十一天，是結(jié)束，也是開始?；氐娇蛷d我輕抿一口熱茶，餃子的余香仍在唇齒間徘徊。閉上眼睛，仿佛看見春天的山巒在眼前舒展，生機勃勃。這一刻，讓我感到無比安寧，仿佛與天地融為一體。冬至的餃子，不僅溫暖了胃，更溫暖了心。輕聲呢喃：“數(shù)理演乾坤，九九寄遐思。餃香盈歲月，春山在眼前?！?/p>
回驀自己自2018年那雙三日月光榮而幸福地退休歲月，退而不休從未間斷對數(shù)學(xué)的深研。夕陽的余暉透過窗戶，在演算紙上投下溫暖的光斑。孫兒稚嫩的手指正握著鉛筆，認(rèn)認(rèn)真真的在演草本上算題。那些曾經(jīng)在講臺上演繹過的分?jǐn)?shù)與方程，此刻化作祖孫指尖的游戲一一圓圓的餃子皮是幾何的圓，排列整齊的餃褶是等差數(shù)列，廚房飄來的香氣則是生活最甜美的解。望著孩子們在暖光燈下包餃子的身影，數(shù)學(xué)教師出身的我不禁莞爾。人生如冬至的數(shù)九歌，從一九數(shù)到九九，每個數(shù)字都記錄著光陰的故事。育兒育孫恰似解一道生命函數(shù)，初始值是愛，導(dǎo)數(shù)是陪伴，積分便匯聚成這滿屋的歡聲笑語。鍋里的餃子如白鵝浮水，那是歲月熬煮的團圓。
夜色漸濃，最短的白日孕育最長的思念。這一刻，乾坤在碗中盤旋，遐思在心頭翻騰，冬日的寒冷，化作了春的序曲。冬至是自然設(shè)定的特殊坐標(biāo)，讓我們在至暗時刻窺見光明增長的數(shù)學(xué)本質(zhì)。而人類用數(shù)九記錄希望，用餃子溫暖身心，恰似在混沌宇宙中建立坐標(biāo)系，用文明的火種證明：即便在最寒冷的定義域里，也始終存在溫暖的解。當(dāng)那碗碗熱氣騰騰的餃子端上桌時，遐想中突然明白：幸福不是復(fù)雜的證明題，而是如此刻般，三代同堂，共享這冬至夜晚。往后歲月，愿天下人每個日子都如這冬至的餃子一一皮薄餡足，圓滿溫馨。走向中國式現(xiàn)代化強國偉大復(fù)興的明天。
（2025年12月18日徐世春于平安軒長春居）
作者簡介：徐世春，濟南市長清人。字真誠，號常卿，中共黨員，中學(xué)高級教師。系中國教育學(xué)會數(shù)學(xué)研究發(fā)展中心、濟南市小學(xué)數(shù)學(xué)研究專委會和山東歷史學(xué)會等會員。省、市優(yōu)秀教師、曾獲21世紀(jì)全國數(shù)學(xué)名師、全國數(shù)學(xué)奧林匹克二級優(yōu)秀教練員，市教學(xué)能手、數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人和區(qū)專業(yè)技術(shù)拔尖人才等。 有數(shù)學(xué)專著多冊、論文多篇、研發(fā)數(shù)學(xué)教具獲國家專利。數(shù)學(xué)歌謠總結(jié)課堂知識易于學(xué)生記憶：書法與板書結(jié)合極簡，易于學(xué)生掌握教學(xué)核心。畢生從教以真誠與愛心投身教育，培育大批杰出人才。在教學(xué)管理與教師發(fā)展上推動教育創(chuàng)新。研究方向聚焦數(shù)學(xué)教育創(chuàng)新，倡導(dǎo)跨學(xué)科融合。受教育專家邱學(xué)華老師經(jīng)驗熏陶，獨創(chuàng)“球形散斂思維教學(xué)法”。參與中央教科所新課標(biāo)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書與教師用書的編寫工作，并在應(yīng)用題教學(xué)、數(shù)學(xué)閱讀等方面提供可行性建議，為國家教材建設(shè)貢獻(xiàn)了智慧和力量。專著《小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)變訓(xùn)練與能力培養(yǎng)》《論小學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)指導(dǎo)的方法》等，代表作《小學(xué)數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)》《淺談小學(xué)數(shù)學(xué)作業(yè)批改的方法》《淺談農(nóng)村小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的思路方法與技巧》等。在《中小學(xué)數(shù)學(xué)》《山東教育》等省級以上刊物發(fā)表數(shù)學(xué)論文多篇，事跡被《濟南日報》《山東教育報》等新聞媒體報刊及各類《辭書》多次宣傳報道。
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